Ejercicio 11 Ensayo Demre

20 Oct, 2007  2 comentarios

Si a+\dfrac{1}{b}= 9   y  \dfrac{a^2b^2-1}{b^2}= 36, entonces a-\dfrac{1}{b} =

Ecuacion diofantina

20 Oct, 2007  2 comentarios

Encuentre todos los pares de enteros (x,y) que satisfacen:

154x+23y=1

Último dígito

20 Oct, 2007  3 comentarios

Determine el último dígito de 2^{222}

Desigualdad I

20 Oct, 2007  No Comment

Demuestre que:

\displaystyle{2n \choose n}\ge \dfrac{4^n}{2n}    ,\forall n\in\mathbb{N}.

Ejercicio simple

20 Oct, 2007  No Comment

circulo y triangulo

En la figura, los puntos B, C, D y E son las intersecciones entre el \triangle ABC y la circunferencia de radio r. \overline{DB}: Diámetro. Si \overline{AE}=r y \angle EAD=20^\circ, calcule \measuredangle B

Teorema de Thales

20 Oct, 2007  1 comentario

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Sundance Diary8
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Sumando ángulos.

20 Oct, 2007  No Comment

\triangle ABC es acutángulo. Sea O su circuncentro.

Muestre que \measuredangle CAO+\measuredangle CBO=\measuredangle ACB

Factorización de Fermat

20 Oct, 2007  1 comentario

Hace unos días vi este post en Futility Closet:

Mersenne once wrote to Fermat asking whether 100895598169 were a prime number.

Fermat replied immediately that it’s the product of 898423 and 112303, both of which are prime.

To this day, no one knows how he knew this. Has a powerful factoring technique been lost?

Traducido quedaría algo así:

Mersenne escribió una vez a Fermat preguntándole si 100895598169 era un número primo.

Fermat respondió inmediatamente que es el producto de 898423 por 112303, ambos primos.

A día de hoy nadie sabe cómo lo supo. ¿Se ha perdido una potente técnica de factorización?

Pues sí, al parecer no se sabe a ciencia cierta cómo factorizó ese número tan grande en tan poco tiempo. Lo que sí se conoce es un método de factorización ideado por Fermat, aunque yo dudo que fuera el que usó para este caso. Pasemos a explicarlo.

El método de factorización de Fermat

La cuestión es factorizar un cierto número n. La idea de Fermat es la siguiente:

Si n es igual a la diferencia de dos cuadrados, digamos n=x^2-y^2, entonces n puede factorizarse de forma muy sencilla de forma evidente: n=(x+y)(x-y).

Como x^2 debe ser mayor que n se tiene que x debe ser mayor que \sqrt{n}. A partir de ésto ya podemos adentrarnos en el método de factorización de Fermat:

Dado un número entero positivo n que queremos factorizar tomamos un entero positivo x mayor que \sqrt{n} (podemos calcular una aproximación de esa raíz cuadrada a ojo o con el método normal y después elegir x). Calculamos x^2 y le restamos n. Si obtenemos un cuadrado hemos terminado. Si no es así tomamos x+1, calculamos (x+1)^2, restamos n y si hemos obtenido un cuadrado se acaba. Procedemos de la misma forma hasta encontrar un cuadrado.

Vamos a ver un par de ejemplos de aplicación del método:

  1. Vamos a factorizar el número 13837. Su raíz cuadrada está entre 117 y 118. Tomamos x=118. Pero 118^2-13837=87, que no es un cuadrado. Tomamos ahora x=119. Ahora 119^2-13837=324=18^2. Por tanto despejando n=13837 de esta expresión tenemos su factorización:13837=119^2-18^2=(119+18)(119-18)=137 \cdot 101
  2. Vamos ahora con un número más grande, el que utilizó Fermat para probar la efectividad de su método: 2027651281. Su raíz cuadrada está entre 45029 y 45030. Comenzamos con x=45030. Veamos qué resultados obtenemos:45030^2-2027651281=49619, que no es un cuadrado.
    45031^2-2027651281=139680, que no es un cuadrado.
    45032^2-2027651281=229743, que no es un cuadrado.
    45033^2-2027651281=319808, que no es un cuadrado.
    45034^2-2027651281=409875, que no es un cuadrado.
    45035^2-2027651281=499944, que no es un cuadrado.
    45036^2-2027651281=590015, que no es un cuadrado.
    45037^2-2027651281=680088, que no es un cuadrado.
    45038^2-2027651281=770163, que no es un cuadrado.
    45039^2-2027651281=860240, que no es un cuadrado.
    45040^2-2027651281=950319, que no es un cuadrado.
    45041^2-2027651281=1040400=1020^2.Por tanto ya tenemos la factorización:

    2027651281=45041^2-1020^2=(45041+1020)(45041-1020)=44021 \cdot 46061

Como podemos ver el método está muy bien si la diferencia entre los factores del número no es muy grande pero no es demasiado eficiente si los dos factores están muy alejados el uno del otro, ya que en ese caso la cantidad de cálculos que deberíamos realizar sería enorme. Esa es la razón por la que yo pienso que Fermat no usó este método para factorizar el número 100895598169 y me temo que siempre nos quedará la duda de qué método utilizó Fermat para realizar esta factorización. De todas formas el método es interesante ya que hasta en nuestros tiempos ha servido como motivación para la búsqueda de nuevos métodos de factorización.

Los 10 puntos

19 Oct, 2007  No Comment

Se tiene un triángulo equilátero de lado 3cm. En su interior (incluyendo sus lados) se ubican 10 puntos.

Demostrar que existe al menos un par de puntos separados por a lo más 1cm de distancia.

Serie de Grandi

19 Oct, 2007  1 comentario

Tomemos la siguiente sumatoria:

\displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n=1-1+1-1+1-1+\ldots

Alguien instintivamente podría pensar que los 1’s se anulan y el resultado es 0. Así:

(1-1)+(1-1)+(1-1)=0+0+0+\ldots=0

¿Pero y si hacemos esto?:

1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\ldots=1+0+0+0+\ldots=1

¿Quien podría decir que hacer eso es incorreto?…Entonces ¿La sumatoria vale 1 ó 0?, Tal vez podríamos aplicar álgebra:

S=1-1+1-1+1-1+\ldots=1-(1-1+1-1+1-\ldots)=1-S\\ 2S=1\\ S=\frac{1}{2}

La sumatoria valdría 0,5. ¿Entonces con qué valor nos quedamos?.

Lo que susece es que la serie no es convergente, lo que nos hace imposible calcular su suma.

En matemáticas moderna, la suma de una serie infinita, si es que existe, se define como igual al límite de la secuencia de sus “sumas parciales”. La secuencia de las sumas parciales de la serie de Grandi es (1, 0, 1, 0, …) - lo que no “tiende” a ningún número (a pesar de que posee dos puntos de acumulación en 0 y 1 ). Por lo tanto, la serie de Grandi es no-convergente, u oscilante.

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